v
Pengertian Game Theory / Teori Permainan
Menurut John von Neumann dan
Oskar Morgenstern permainan terdiri atas sekumpulan
peraturan yang membangun situasi bersaing dari dua sampai beberapa orang atau
kelompok dengan memilih strategi yang dibangun untuk memaksimalkan kemenangan
sendiri atau pun untuk meminimalkan kemenangan lawan. Peraturan- peraturan menentukan
kemungkinan tindakan untuk setiap pemain, sejumlah keterangan
diterima setiap pemain sebagai kemajuan bermain, dan sejumlah kemenangan atau
kekalahan dalam berbagai situasi.
Sedangkan Kartono menjelaskan bahwa teori permainan (Game Theory) merupakan teori yang menggunakan pendekatan matematis dalam merumuskansituasi persaingan dan konflik antara berbagai
kepentingan. Teori ini dikembangkan untk menganalisa proses
pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari situasi-situasi persaingan
yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan.
Secara umum teori permainan dapat didefinisikan sebagai sebuah pendekatan terhadap kemungkinan strategi
yang akan dipakai, yang disusun secara matematis agar bisa diterima secara
logis dan rasional. Serta digunakan untuk mencari strategi terbaik dalam suatu
aktivitas, dimana setiap pemain di dalamnya sama-sama mencapai
utilitas/kegunaan tertinggi.
v
Ketentuan Umum Dan Model Teori Permainan
Ketentuan umum dari
teori permainan adalah :
1.
Setiap pemain
bermain rasional, dengan asumsi memiliki intelegensi yang sama,dan tujuan sama,
yaitu memaksimumkan pay-off, dengan kriteria maksimin dan minimaks.
2.
Minimal
terdiri dari 2 pemain, keuntungan bagi salah satu pemain merupakan kerugian
bagi pemain lain.
3.
Tabel yang disusun menunjukkan keuntungan pemain baris, dan kerugian
pemain kolom.
4.
Permainan
dikatakan adil jika hasil akhir menghasilkan nilai nol (0), tidak ada yang
menang/kalah.
5.
Tujuan dari
teori permainan ini adalah mengidentifikasi strategi
yang paling optimal
v Ada dua jenis strategi permainan yang biasa digunakan di dalam teory:
ü Pure strategy
ü Mixed strategy
·
Metode Analitis
·
Metode Grafik
·
Metode Pemrograman Linear
v
Permainan Strategi Murni (Pure-Strategy Game) Beserta Contoh Kasus
Dalam permainan strategi murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah
dengan menggunakan strategi tunggal. Pemain baris mengidentifikasikan strategi
optimalnya melalui
aplikasi kriteria maksimin (maximin)
dan pemain kolom dengan kriteria minimaks (minimax). Nilai yang
dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks baris dan minimum dari maksimin
kolom, titik ini dikenal sebagai titik pelana (saddle point).
Contoh kasus 1: (Pure Strategy)
Dua buah perusahan yang
memiliki produk yang relatif sama, selama ini saling bersaing dan berusaha
untuk mendapatkan keuntungan dari pangsa pasar yang ada. Untuk keperluan
tersbut, perusahaan A mengandalkan 2 strategi dan perusahaan B menggunakan 3
macam strategi, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut ini :
Dari kasus di atas,
bagaimana strategi yang harus digunakan oleh masing-masing pemain atau
perusahaan, agar masing-masing mendapatkan hasil yang optimal (kalau untung,
keuntungan tersebut besar, dan kalau harus rugi maka kerugian tersebut adalah
paling kecil).
Jawaban:
Langkah-langkah:
1.
Untuk pemain baris (perusahaan A),
pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris (Baris satu nilai terkecilnya
1 dan baris dua nilai terkecilnya 4). Selanjutnya dari dua nilai terkecil
tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar, yakni nilai 4.
2.
Untuk pemain kolom, (perusahaan
B), pilih nilai yang paling besar untuk setiap kolom (kolom satu nilai
terbesarnya 8, kolom dua nilai terbesarnya 9, dan kolom tiga nilai terbesarnya
4). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling baik
atau kecil bagi B, yakni nilai 4 (rugi yang paling kecil).
3.
Karena pilihan pemain baris-A dan
pemain kolom-B sudah sama, yakni masingmasing memilih nilai 4, maka
permainan ini sudah dapat dikatakan optimal à sudah ditemukan nilai permainan
(sadle point) yang sama.
Hasil optimal di atas,
dimana masing-masing pemain memilih nilai 4 mengandung arti bahwa pemain A
meskipun menginginkan keuntungan yang lebih besar, namun A hanya akan mendapat
keuntungan maksimal sebesar 4, bila ia menggunakan strategi harga mahal (S2).
Sedangkan pemain B, meskipun menginginkan kerugian yang dideritanya adalah
sekecil mungkin, namun kerugian yang paling baik bagi B adalah sebesar 4, dan
itu bisa diperoleh dengan merespon strategi yang digunakan A dengan juga
menerapkan strategi harga mahal (S3).
v
Permainan Strategi amouran (Mixed-Strategy Game) Beserta Contoh Kasus
Seperti dikatakan sebelumnya bahwa bila nilai maksimin dan minimaks tidak sama. Penyelesaian soal adalah dengan strategi campuran. Untuk memperjelas penjelasan strategi ini digunakan contoh berikut:
Contoh kasus 2: ( Mixed Strategy)
Dari kasus di atas, dan
karena adanya perkembangan yang terjadi di pasar, maka perusahaan A, yang
tadinya hanya memiliki produk dengan harga murah dan mahal, sekarang menambah
satu lagi strategi bersainganya dengan juga mengeluarkan produk berharga
sedang, dan hasil yang diperoleh tampak pada tabel berikut ini :
Jawaban:
Langkah-langkah:
1.
Mula-mula akan dicoba dulu dengan
menggunakan strategi murni. Seperti telah dijelaskan di atas, bagi pemain baris
akan menggunakan aturan maximin dan pemain kolom akan menggunakan
aturan minimax. Untuk pemain baris, pilih nilai yang paling kecil
untuk setiap baris (Baris satu nilai terkecilnya 2 , untuk baris kedua nilai
terkecilnya -1 dan baris tiga nilai terkecilnya 1). Selanjutnya dari dua nilai
terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar, yakni nilai 2.
2.
Untuk pemain kolom, pilih nilai
yang paling besar untuk setiap kolom (kolom satu nilai terbesarnya 6, kolom dua
nilai terbesarnya 5, dan kolom tiga nilai terbesarnya 9). Selanjutnya dari tiga
nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling baik atau kecil bagi B, yakni
nilai 5 (rugi yang paling kecil).
3.
Dari tabel di atas terlihat bahwa
pilihan pemain baris-A dan pemain kolom-B tidak sama, dimana pemain atau
perusahaan A memilih nilai 2 dan perusahaan B memilih nilai 5, dengan demikian
maka permainan ini dapat dikatakan belum optimal à karena belum
ditemukan nilai permainan (sadle point) yang
sama. Oleh karena itu perlu dilanjutkan dengan menggunakan strategi campuran,
yang langkahnya adalah sebegai berikut :
4.
Masing-masing pemain akan
menghilangkan strategi yang menghasilkan keuntungan atau kerugian paling buruk.
Bila diperhatikan pada tabel sebelumnya, untuk pemain A, strategi S2 adalah
paling buruk, karena bisa menimbulkan kemungkinan kerugian bagi A (ada nilai
negatif / -1 nya). Dan bagi pemain B, strategi S3 adalah paling buruk karena kerugiannya
yang bisa terjadi paling besar (perhatikan nilai-nilai kerugian di strategi S3
pemain/perusahaan B)
5.
Setelah pemain A membuang strategi
S2 dan pemain B membuang stretgi S3, diperoleh tabel sebagiai berikut :
Perhatikan bahwa setelah
masing-masing membuang strategi yang paling buruk, maka sekarang persaingan
atau permainan dilakukan dengan kondisi, perusahaan A menggunakan strategi S1
dan S3, sementara perusahaan B menggunakan strategi S1 dan S2.
Karena nilai maksimin tetap tidak sama dengan nilai minimaks
maka penyelesaian permainan strategi ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode grafik,
metode aljabar matriks, metode analitis atau linear programming. Dibawah ini hanya akan dijelaskan mengenai metode analitis dan linier
programming.
6.
Langkah selanjutnya menggunakan metode analitis adalah menentukan suatu distribusi probabilitas untuk
strategi-strategiyang berbeda. Untuk perusahaan A, bila
kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S1 adalah sebesar p, maka
kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S3 adalah (1-p). Begitu
pula dengan pemain B, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S1
adalah sebesar q, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S2
adalah (1-q).
7.
Selanjutnya mencari nilai besaran
probabilitas setiap strategi yang akan digunakan dengan menggunakan nilai-nilai
yang ada serta nilai probalitas masing-masing strategi untuk menghitung sadle
point yang optimal, dengan cara sebagai berikut:
Ø Untuk perusahaan A:
Bila, apapun strategi yang digunakan A,
perusahaan B meresponnya dengan strategi S1, maka :
2p + 6(1-p) = 2p + 6 – 6p = 6 – 4p
Bila, apapun strategi yang digunakan A,
perusahaan B meresponnya dengan strategi S2, maka :
5p + 1(1-p) = 5p + 1 – 1p = 1 + 4p
Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung,
maka :
6 – 4p = 1 + 4p
5 = 8p
P = 5/8 = 0,625
Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai (1-p)
adalah (1 – 0,625) = 0,375, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1
dan S3 milik perusahaan A sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai
probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka keuntungan
yang diharapkan oleh perusahaan A adalah :
Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2
= 2p + 6(1-p) =
5p + 1(1-p)
= 2 (0,625) + 6 (0,375) = 5 (0,625) + 1 (0,375)
= 3,5 =
3,5
Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan
keuntungan yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di
atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini keuntungan perusahaan A
hanya sebesar 2, berarti dengan digunakan strategi
campuran ini, keuntungan perusahaan A bisa
meningkat 1,5 menjadi 3,5.
Bagaimana dengan perusahaan B ?
Ø Untuk perusahaan B:
Bila, apapun strategi yang digunakan B,
perusahaan A meresponnya dengan strategi S1,maka :
2q + 5(1-q) = 2q + 5 – 5q = 5 – 3p
Bila, apapun strategi yang digunakan B,
perusahaan A meresponnya dengan strategi S3, maka :
6q + 1(1-q) = 6q + 1 – 1q = 1 + 5p
Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung,
maka :
5 – 3q = 1 + 5q
4 = 8q
q = 4/8 = 0,5
Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p)
adalah (1 – 0,5) = 0,5, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan
S2 milik perusahaan B sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai
probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka kerugian
minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah :
Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2
= 2q + 5(1-q) =
6q + 1(1-q)
= 2 (0,5) + 5 (0,5) = 6 (0,5) + 1 (0,5)
= 3,5 =
3,5
Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan
kerugian minimal yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat
di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini kerugian minimal
perusahaan B adalah sebesar 5, berarti dengan digunakan strategi
campuran ini, kerugian minimal perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5 menjadi
3,5.
8.
Karena penggunaan strategi murni
belum mampu menemukan nilai permainan (sadle point) yang sama, mana
penyelesaian masalah permainan/persaingan di atas dilanjutkan dengan
digunakannya strategi campuran. Penggunaan strategi campuran ini terbukti
disamping mampu menemukan nilai permainan (sadle point) yang sama, strategi
campuran ini juga mampu memberikan hasil yang lebih baik bagi masing-masing
perusahaan. Perusahaan A keuntungan yang diharapkan naik menjadi 3,5 dan
kerugian minimal yang diterima perusahaan B juga dapat turun hanya sebesar 3.5.
à Sudah optimal.
9.
Jika menggunakan metode linear programming yaitu metode sebelumnya dalam penggunaan mempunyai ruang lingkup
terbatas. Untuk menyelesaikan permainan strategi campuran 3 x 3
atau dimensi yang lebih besar dapat digunakan metode linier programming. Untuk
menerangkan teknik ini digunakan contoh permainan dua pemain jumlah nol dalam
tabel di atas. Notasi yang digunakan:
V = nilai permainan
X1 dan X2 = probabilitas pemilihan strategi A1 dan strategi A3
Y1 dan Y2 = probabilitas pemilihan strategi B1 dan strategi B2
Dengan A sebagai maximizing player maka keuntungan yang
diharapkan oleh A dalam
tanda ketidaksamaan >. Dengan demikian nilai keuntungan yang
diharapkan untuk pemain A adalah :
2X1 + 6X2 ≥ V (bila pemain B menggunakan strategi
B1 seterusnya)
5X1 + 1X2 ≥ V (bila pemain B menggunakan strategi B2
seterusnya)
Diketahui
bahwa:
X1 + X2 = 1 dan X1 , X2 ≥ 0
Dengan
B sebagai minimazing player maka dapat dinyatakan kerugian yangdiharapkan oleh
B dalam tanda ketidaksamaan ò.
Dengan
demikian nilai kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah:
2Y1 + 5Y2 ≤ V (bila pemain A menggunakan strategi
A1 seterusnya)
6Y1 + 1Y2 ≤ V (bila pemain A menggunakan strategi
A3 seteturnya)
Diketahui bahwa :Y1 + Y2 = 1 dan Y1 , Y2
≤ 0
Dengan
membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V diperoleh
:
* Untuk pemain A: * Untuk pemain B:
2X1
+ 6X2 ≥ 1 2Y1 + 6X2 ≤ 1
5X1
+ 1X2 ≥ 1 5Y1 + 1Y2
≤ 1
X1 + X2 = 1/V Y1 + Y2 = 1/V
Kemudian
dari masalah diatas diselesaikan dengan linear programming. Rumusan
masalah linear programming untuk A adalah:
Min : X1+ X2
Batasan-batasan: 2X1 + 6X2 ≥ 1
5X1 + 1X2 ≥ 1
X1 , X2 ≥ 0
Rumusan masalah linear
programming untuk B adalah:
Maks : Y1 + Y2
Batasan-batasan: 2Y1 + 5Y2
≤ 1
6Y1 + 1Y2 ≤ 1
Y1 , Y2 ≤ 0
Dengan menggunakan
metode simpleks, nilai permainannya (V) diketahui sebesar 3,5. Dari hasil nilai permainan
ini selanjutnya dapat dicari nilai probabilitas dari pemilihan
masing-masing strategi sebagai berikut :
X1 = V . X1 Y1 = V . Y1
X2 = V . X2 Y2 = V . Y2
Sumber:
